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赵清波副教授
2010-05-06 16:24   发布范围:公开

赵清波,女,19663月出生,第四军医大学生物医学工程系数理教研室副教授。从教21年。主讲《高等数学》、《医用高等数学》、《模糊数学》、《医学统计学》等课程。20038月以来累计主讲608学时,年平均121学时。主编教材1部,参编教材5部、著作3部。

从教格言

授之于鱼,不如授之于渔。

教学内容简介

本次课的内容是对坐标的曲面积分。它的实际背景之一是流向曲面一侧的流量问题,即求流向曲面一侧的流量等实际问题可转换成计算相应的曲面积分的数学问题。本次课的重点内容有:曲面的侧、对坐标的曲面积分的实际背景和曲面积分的计算;难点是对坐标的曲面积分的计算,主要是根据曲面的侧来选定积分的正负,需要特别注意的是积分的正负表示流量的方向,不表示大小。

一、曲面的侧、有向曲面

假定我们所讨论的曲面是光滑的,一般来讲,我们所遇到的曲面都是双侧的,曲面的侧可以通过曲面上法向量的指向来定义,这种取定了法向量也就选定了侧的曲面,我们称之为有向曲面。

二、对坐标的曲面积分的实际背景

利用元素法(分割、局部近似、求和、取极限的方法)得到单位时间内流向曲面指定侧的流体的质量,即流量

这样的极限还会在其它实际问题中遇到,抽去它们的具体意义,可给出对坐标的曲面积分的概念。

三、对坐标的曲面积分的定义

【定义】设为光滑的有向曲面,函数上有界。把任意分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积)面上的投影为上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值时,极限

总存在,则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分,并记作

    

四、对坐标的曲面积分的计算方法

把对坐标的曲面积分化成二重积分:

    

等式右端的符号这样决定:若积分曲面是由方程所给出的曲面的上侧,即取正号;反之,如果取下侧,即取负号。

经验和感悟

高等数学中的很多概念都是在解决实际问题时提出来的,例如,前一次课学习的对面积的曲面积分的实际背景之一是面密度为连续函数的光滑曲面的质量,而本次课将要学习的对坐标的曲面积分的实际背景之一是流向曲面一侧的流量。“质量”和“流量”代表着两类不同的实际问题,主要区别是,“质量”与曲面方向无关而“流量”与曲面的方向有关。鉴于此,在讲授新课之前,先复习上一次课学习的对面积的曲面积分,并强调指出:通过计算对面积的曲面积分只能解决像“质量”这样与曲面方向无关的实际问题。然后自然地引入:实际中常会碰到像“流量”这样与曲面的方向有关的实际问题,他们的解决要通过计算本次课将要学习的对坐标的曲面积分来完成。这样做能够使学生认识到对坐标的曲面积分这一个数学概念的实用价值,并清楚地认识到它与对面积的曲面积分的区别。

由于对坐标的曲面积分与曲面的方向有关,因此,曲面的侧、有向曲面以及曲面在坐标平面上的投影都是重要的预备知识,在讲解的过程中通过动画演示、黑板上作图、利用教具演示相结合的方法使学生真正掌握这一重点及难点内容。本次课的另一重点内容是对坐标的曲面积分的计算,为了使学生熟练地掌握计算方法,在推导出计算公式后总结出计算口诀:一投、二代、三定号, 并在讲解例题时反复使用计算口诀。另外,计算过程的“三定号”是一个难点,因此在讲解例题时,利用了比较有冲击性的动画配合声音来吸引学生的眼球。在整个教学过程中,对于重点部位及容易出错的地方都用鲜艳的颜色展示,提请学生注意。

很多人都认为数学是枯燥的,为了使讲解枯燥的数学知识的课堂生动起来,在备课时还特别注意搜集一些相关的有趣的资料,把它们融入课堂,不但提高了学生的学习兴趣,还扩大了学生的视野。如本次课讲到的莫比乌斯带(典型的单侧曲面)神奇、实用,有不少学生并不了解。通过演示它神奇的性质、展示它实用的价值,提高了学生的学习兴趣,再一次让同学们认识到数学与实际是息息相关的。

在准备这次精品课的过程中,作为教师的我也学到了很多东西,精益求精的过程是一个自我提高的过程。虽然已有了21年的教龄,但仍有太多的东西需要学习,这是我切身的体会。

授课视频:http://xlbwww.fmmu.edu.cn/jingpin/ziliao/shifanke/zsh20080612/36zhaoqingbo/content.htm

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